在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,E,F,N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，

1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,E,F,N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，

(1)连接B1D1，因为E，F分别是C1D1、B1C1，
所以EF//B1D1
又因为B1D1//BD
所以EF//BD
所以EF，BD可以确定一个平面，
所以E、F、B、D四点共面
(2)由题意可知AM//DE，MN//B1D1//EF，AM交AN于A，DE交EF于E
又因为AN,AM在面AMN上，DE,EF在面EFBD上
所以有两平面平行判定定理知平面AMN平行平面EFBD
得证

2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB,BC的中点.

(1)
连接AC,A1C1,
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴AA1//=CC1
∴ACC1A1是平行四边形
∴AC//A1C1
∵E,F分别是AB,BC中点
∴EF//AC
∴EF//A1C1
又EF不在平面A1B1C2D1内
  A1C1在平面A1B1C1D1内
∴EF//平面A1B1C1D1
(2)
同理：
EF//AC
EF不在平面D1AC内
AC在平面D1AC内
∴EF//平面D1AC

3. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是面A1B1C1D1的中心,E,F分别是AB和BC中点

解：作面ABCD的中心O，连接AC，OO1，
∵EF∥AC
∴AO1与EF所成角=∠OAO1，
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以面A1B1C1D1是面ABCD的垂直射影，
∴OO1⊥面ABCD，OO1⊥AO，OO1=AA1，
设正方体ABCD-A1B1C1D1边长为1，则，
AO=√2/2，OO1=1，
tan∠OAO1=OO1/AO=√2，
∴异面直线AO1与EF所成角的正切值为√2.

4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1，BB1，B1C1的中点

（1）EF,GF与平面ABCD有一个公共交点，EG与平面没有交点。
（2）图你可以延长EF，GF并延长AB,CB;EF会与AB相交于一点M,GF会与CB相交于一点N，连接MN，则直线MN就是两平面的交线。

5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F,G分别是A1B1,B1C1,B1B的中点，求证：B1D

如图，设底面对角线的交点为O,对角线B1D与 平面A1BC1相交于P,则P一定在平面A1BC1与 对角面BB1D1D的交线B1O上。 ∵BB1⊥A1C1. B1D1⊥A1C1,BB1∩B1D1=B1 ∴A1C1⊥平面BB1D1D. 又B1D在平面BB1D1D内，∴B1D⊥A1C1. 设正方体的棱长为1，则在矩形BB1D1D中， B1D1=√2,B1O=√2/2. 在Rt△B1D1D中，DD1/B1D1=1/√2=√2/2; 在Rt△BB1O中，OB1/BB1=(√2/2)/1=√2/2. ∴∠DB1D1=∠OBB1.∴B1P⊥BO,即B1D⊥BO. 又BO∩A1C1=O,∴B1D⊥平面A1BC1. 又∵EF‖A1C1,EG‖A1B,FG‖BC1,∴面EFG‖面A1BC1. ∵B1D⊥面A1BC1,∴B1D⊥面EFG. http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/064a617f4e7d8d0528388a99.html

6. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别为CC1，A1D和B1D1的中点

因为CC1垂直平面ABCD，且CC1在平面ACE内。
所以平面ABCD垂直平面ACE。
作BH垂直AC。
因为平面ABCD垂直平面ACE，且平面ABCD交平面ACE=AC。
所以BH垂直平面ACE。
因为AE在平面ACE内，所以AE垂直BH。
作HM垂直AE，连结BM。
因为AE垂直BH、AE垂直HM，且BH交HM=H。
所以，AE垂直平面BHM。
因为BM在平面BHM内，所以AE垂直BM。
所以角BMH是
C-AE-B的
。
设正方体的棱长为2a。
在正方形ABCD中，可求BH=√2a。
在直角三角形ABE中，AB=2a、BE=√5a、AE=3a。
用面积桥可求得BM=(2√5/3)a。
在直角三角形BMH中，用勾股定理可求得HM=(√2/3)a。
则tanθ=tan角BMH=BH/HM=(√2a)/[(√2/3)a]=3。

7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点

（1）以D为原点建立空间直角坐标系,设边长为1,所以B1（1,1,1,）D（0,0,0,）
  所以所成角度为45度,余弦值为二分之根2
  （2）以D为原点建立空间直角坐标系,设边长为1,所以E（1,0,1/2,）F（1/2,0,0,）
  所以空间向量EF=(-1/2,0,-1/2)与在平面A1B1C1D1的投影所成角度即为EF与面A1B1C1D1所成的角,空间向量EF=(-1/2,0,-1/2)在平面A1B1C1D1的投影向量A1F=(-1/2,0,0),所以易知其夹角余弦值为二分之根2,角度为45度,

8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点

（1）以D为原点建立空间直角坐标系，设边长为1，所以B1（1,1,1,）D（0,0,0,）
所以所成角度为45度，余弦值为二分之根2
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，设边长为1，所以E（1,0,1/2,）F（1/2,0,0,）
所以空间向量EF=(-1/2，0，-1/2)与在平面A1B1C1D1的投影所成角度即为EF与面A1B1C1D1所成的角，空间向量EF=(-1/2，0，-1/2)在平面A1B1C1D1的投影向量A1F=(-1/2，0，0)，所以易知其夹角余弦值为二分之根2，角度为45度，