如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，aa1垂直平面abc.ac垂直bc，ac=bc=cc1=2

1. 如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，aa1垂直平面abc.ac垂直bc，ac=bc=cc1=2

如图已知在三棱柱ABC--A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1‖面MNQ；（3）若的余弦值．证明：（1）∵AC=BC， P是AB的中点 ∴AB⊥PC∵AA1⊥面ABC，CC1‖AA1，∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内∴CC1⊥AB， ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面PCC1； 又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN‖AB，∴MN⊥面PCC1 ∵MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ； 4分 （2）连PB1与MN相交于K，连KQ，∵MN‖PB，N为BB1的中点，∴K为PB1的中点．又∵Q是C1B1的中点∴PC1‖KQ 而KQ平面MNQ，PC1平面MNQ∴PC1‖面MNQ． 9分 (3)由不妨设以点P为坐标原点PA所在直线为x轴，平面内直线AB的垂直平分线为y轴，PC所在直线为z轴建立空间直角坐标系。则可求得各点的坐标为,.平面MNQ的一个法向量为，平面的一个法向量为

2. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C垂直地面ABC，AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB垂直BC，O为AB的中点。

解：如图，过A1作AD垂直于AC交AC于D，
    连接BD，以DC为Y轴，DB为X轴，
    DA1为Z轴建立空间坐标系
    ∵侧面AA1C1C垂直地面ABC，
      AA1=A1C=AC=2,AB=BC,
          且AB垂直BC
       ∴ABC为等腰RtΔ
      设N（X,Y,Z)为平面A1AB的法向量
    ∴AA1=(0,1,√3）A1B=(1,0,√3)
      即有：｛Y+,√3Z=0
                    X-,√3Z=0
     解得：N=(√3,-,√3,1)
       ∵OE∥平面A1AB
      ∴法向量N⊥OE
        设E为(a,b,c)
      ∴OE=（a-1/2，y+1/2,c)
       OE*N=0且由相似Δ得：
     Z+√3X-√3Y-√3=0
……………………………………………………………………
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大概思路就这样，这种太复杂了，还要用相似Δ，我没耐心啦，花了我两个多小时……
有没有更简洁的，有了请好我分享，谢谢！

3. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,D为AC的中点,AC1垂直平面A1BD，B1C1垂直面ABB1A1

AC1垂直平面A1BD，
所以AC1⊥BD
B1C1垂直面ABB1A1
B1C1⊥A1B1，可得AB⊥BC
又因为,AB=BC
所以三角形ABC为等腰直角三角形
D为斜边AC中点
所以BD⊥AC，又因为AC1⊥BD
所以BD⊥面A1ACC1
即BD⊥三角形A1C1D
V三棱锥B-A1C1D=1/3*BD*S△A1C1D
BD=√2*AB=√2
S△A1C1D=1/2*A1C1*AA1=1/2*√2*1=√2/2
V三棱锥B-A1C1D=1/3*√2*√2/2
=1/3

4. 三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,角BAA1=60°若平面ABC垂直平面AA1B1B，AB=CB,

解：
取A1B1为x轴，A1B1中点为原点0,0C1为Z轴，过点O平行于AA1的直线为y轴，设AB=2a，根据已知条件可知
AB=AC=BC=2a  因为角BAA1=60°所以y轴过点B，则C1(0,0,√3a),B1(-a,0,0),C(a,-√3a,√3a),A1(a,0,0)
向量A1C=（0，-√3a，√3a），向量C1C=(a,-√3a,√3a),向量C1B1=（-a,0,-√3a),求出平面BB1C1C的法向量
n=(√3,0,-1),向量A1C=（0，-√3a，√3a）与向量n的夹角余弦=向量A1C=√2/4,即直线A1C与平面BB1C1C所成的角正弦值是√2/4

5. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1垂直于BC1，AB=CC1=1，BC=2

连接A1B,
因为AB=CC1，三棱柱为直三棱柱，所以AA1垂直于A1C1（直棱柱侧棱垂直于底面）
且ABB1A1为正方形，则A1B垂直于AB1（正方形对角线），
又因为AB1垂直于BC1，A1B垂直于AB1，A1B交BC1于B点，所以AB1垂直于平面A1BC1（第一次线面垂直），则AB1垂直于A1C1，
由AB1垂直于A1C1（第一次线面垂直的结论），AA1垂直于A1C1，AB1交AA1于A点，得A1C1垂直于平面ABB1A1（第二次线面垂直），
所以AC1垂直于AB

6. 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1垂直平面ABC,AB=BC

（1）三垂线定理证明
（2）60°；因为C1C垂直于平面ABC所求角即角C1AC，又C1C=2√3，AC=2，所以角为60°

7. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB垂直AC，AB=AC=AA1=2，E是BC的中点。（1

解：(1) 因为是直三棱柱 所以 AA1垂直于面ABC所以 AC垂直于AA1 AC还垂直于AB 所以 AC垂直于面AA1BB1 所以四棱锥体积就为 1/3 X2X2X2
      (2)  做B1C1中点为E1 连接A1E1   E1C  因为是直三棱柱 所以 A1E1平行于AE 所以求A1E1与直线A1C的夹角即可   以为三角形A1B1C1为直角三角形角B1A1C1为直角 所以 A1E1垂直于B1C1  又因为 BB1垂直于面A1B1C1 所以 A1E1垂直于直线B1B 所以 A1E1垂直于面 BB1CC1 所以 A1E1垂直于E1C 所以   三角形A1E1C为直角三角形 切角A1E1C为直角  所以cos角E1A1C就为A1E1除以A1C    A1E1为根号下2    A1C为 2倍的根号下2    求出角E1A1C为60° 所以AE与A1C的夹角为60°

8. 如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，ac垂直bc，ab垂直bb1，ac=bc=bb1=2，d为a

(1)∵D是AB中点,AC=BC,∴CD⊥AB
∵CD⊥A1D,A1D∩AB=D,∴CD⊥面AA1B1B
∴面AA1B1B⊥面ABC
∵BB1⊥AB,∴BB1⊥面ABC
(2)连接AC1,和A1C交於M,连接DM,则DM是△ABC1的中位线
∴DM∥BC1
∵DM包含於面A1CD,∴BC1∥面A1CD
(3)∵CD⊥面AA1B1B,∴CD是三棱锥C-A1B1D的高
易证CD=√2,A1B1=2√2
S△A1B1D=1/2*AA1*A1B1=2√2
∴V=1/3*CD*S△A1B1D=4/3