在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，求二面角B1-AA1-C

1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，求二面角B1-AA1-C

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
二面角B1-AA1-C就是侧面B1BAA1和侧面C1CAA1所成的角
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1
所以AA1⊥面ABC
AA1⊥AC   AA1⊥AB
所以∠BAC为二面角的平面角，
∠ABC=90°，AB=BC=1，
∠BAC=45°
二面角B1-AA1-C=45°

2. 如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AA 1 =BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B 1 -A 1 C-C 1 的大小。

    解：如图，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0）、C（0，2，0）、A 1 （2，0，2）、B 1 （0，0，2）、C 1 （0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC 1 ；∴BM⊥平面A 1 C 1 C，即  =(1，1，0)是平面A 1 C 1 C的一个法向量。设平面  的一个法向量是  ，  =（-2，2，-2），  =（-2，0，0），∴  令z=1，解得x=0，y=1， ∴  ，设法向量  的夹角为φ，二面角  的大小为θ，显然θ为锐角，  ，解得  ， ∴二面角  的大小为  。       

3. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=根号3,角ABC=60°。求二面角A-A1C-B大小

解：
∵AB=1,AC=根号3，角ABC=60°
∴BC=2
∴角BAC=90°
∴AB⊥AC
∵AB⊥AA1  且AC与AA1共面
∴AB⊥面ACA1
∵A1C在面ACA1上
∴AB⊥A1C
2）设A（0,0,0）D为A1C中点，连接AD，BD
∵AC=AA1且角A1AC=90°
∴AD⊥A1C
∵A1B=2=BC
∴BD⊥A1C
∴∠ADB即为A-A1C-B的二面角
则D(0,根号3/2，根号3/2)  B（-2,0,0）C（0,根号3,0）A1(0,0,根号3)
∴AB=（-2，0,0）  
DB=（2，根号3/2，根号3/2）
AD=（0,根号3/2，根号3/2）
∴cos∠ADB=AD*AB/（2|AD||AB|）=0
则∠ADB为直角

4. 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=1,AB1=√3 (1)求证:平面AB1C垂直平面B1CB

（1）因ABC-A1B1C1为直三棱柱
则BB1垂直面ABC
则BB1垂直BC,BB1垂直BC
因BC=BB1=1
则B1C=根2
又AC=1，AB1=根3
则AB1^=B1C^+AC^  (^表示平方)
则AC垂直B1C
则AC垂直面B1CB
则面AB1C垂直面B1CB
（2）
因AC垂直面B1CB
则AC垂直BC,则S(ABC)=AC*BC/2=1/2
V(ABC-A1B1C1)=S(ABC)*BB1=1/2
V(B1-ABC)=V(ABC-A1B1C1)/3=1/6
V(C-A1B1C1)=V(ABC-A1B1C1)/3=1/6
则V(A1-AB1C)=V(ABC-A1B1C1)-V(B1-ABC)-V(C-A1B1C1)=1/2-1/6-1/6=1/6
所以三棱锥A1-AB1C的体积为1/6

5. 如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90° AB=BB1=1 直线B1C与平面ABC所成的角为30°

解：（1）由是直棱柱，所以AC垂直AA1，且角CAB=90度，所以AC垂直AB，
  所以AC垂直面ABB1A1（垂直面内两条相交直线）
  所以面B1AC垂直面平面ABB1A1
（2）求二面角可以建直角坐标系，这道题这么做比较简单
    还可以直接做，提示：角ACB1=角AB1C=45度，角B1CB=30，BB1C=60，
   二面角的话，可以分别做垂直于公共边B1C，再求，数据有点小麻烦，你自己求吧

6. 三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,角BAA1=60°若平面ABC垂直平面AA1B1B，AB=CB,

解：
取A1B1为x轴，A1B1中点为原点0,0C1为Z轴，过点O平行于AA1的直线为y轴，设AB=2a，根据已知条件可知
AB=AC=BC=2a  因为角BAA1=60°所以y轴过点B，则C1(0,0,√3a),B1(-a,0,0),C(a,-√3a,√3a),A1(a,0,0)
向量A1C=（0，-√3a，√3a），向量C1C=(a,-√3a,√3a),向量C1B1=（-a,0,-√3a),求出平面BB1C1C的法向量
n=(√3,0,-1),向量A1C=（0，-√3a，√3a）与向量n的夹角余弦=向量A1C=√2/4,即直线A1C与平面BB1C1C所成的角正弦值是√2/4

7. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=AA1=2,点D是A1C1的中点,则异面直线AD和BC1所成角的大小为

取AC的中点E, 连接EC1. 知EC1//AD.(平行四边形,对边平行)
故角EC1B即为AD与BC1所成的角.
在三角形EC1B中.BE = 根号2,  BC1 = 2根号2.   EC1 = 根号6  (勾股定理)
由余弦定理.cos角EC1B = [8+6 - 2]/[2*2根号2)*(根号5)] = 12/[4*根号12]=(根号3)/2. 
即所求角为30度.

8. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角BAC=90° AB=BB1=a 直线B1C与平面ABC成30°角

证明：1、   ∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥AC
                   ∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB
                    ∴AC⊥面ABB1A1
                     ∵AC⊂面B1AC
                  ∴面B1AC⊥面ABB1A1
2、由直线B1C与平面ABC成30°角，得BC=√3a
从而易求得AC=√2a，B1C=2a,AB1=√2a，
∴RtΔB1AC的面积=AB1*AC/2= a^2，
设点C1到平面B1AC的距离为d，则（1/3）AB1*AC/2*d=（1/3）B1A1*AA1*AC
即a^2*d=a*a*√2a,∴d=√2a
3、三棱锥A1-AB1C的体积=三棱锥B1-AA1C的体积=（1/3）*（1/2）AA1*AC*B1A1
=（1/6）a*√2a*a
=√2a^3/6