Black-Scholes期权定价模型的分红方法

1. Black-Scholes期权定价模型的分红方法

B-S-M模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT·E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:C=(S-·E-γT·N(D1)-L·E-γT·N(D2)(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004=　6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S·E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S·E-δT·N(D1)-L·E-γT·N(D2)

2. Black-Scholes期权定价模型的推导运用

 B-S-M模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G]=E[max(ST-L，O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值ST—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果ST>L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L2、如果STL)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)其中：P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质：Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差。所以：P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围，所以，E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)其中：D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT最后，将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2) 假设市场上某股票现价S为　164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:①求D1:D1=[ln164/165+(0.052+0.0841/2)×0.0959]/√(0.0841×0.0959)=0.0327②求D2:D2=0.0327-√(0.0841×0.0959)=-0.057③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120　N(-0.06)=0.4761④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。 B-S-M模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T移项得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，将B-S-M模型代入整理得:P=L·E-γT·[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看跌期权初始价格定价模型。

3. 期权定价模型的B-S模型

B-S模型：权证定价理论的经典模型

4. 什么是期权定价的BS公式?

　　Black-Scholes-Merton期权定价模型（Black-Scholes-Merton Option Pricing Model），即布莱克—斯克尔斯期权定价模型。

　　B-S-M定价公式
　　C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)
　　其中:
　　d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)
　　d2=d1-σ·√T
　　C—期权初始合理价格
　　X—期权执行价格
　　S—所交易金融资产现价
　　T—期权有效期
　　r—连续复利计无风险利率
　　σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）

　　N(d1)，N(d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：

　　第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

　　第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274。

5. 如何使用matlab实现Black-Scholes期权定价模型

参考论文 　期权定价理论是现代金融学中最为重要的理论之一，也是衍生金融工具定价中最复杂的。本文给出了欧式期权定价过程的一个简单推导，并利用Matlab对定价公式给出了数值算例及比较静态分析，以使读者能更直观地理解期权定价理论。  　　关键词：Matlab；教学实践  　　基金项目：国家自然科学基金项目（70971037）；教育部人文社科青年项目（12YJCZH128）  　　中图分类号：F83　文献标识码：A 　　收录日期：2012年4月17日  　　现代金融学与传统金融学最主要的区别在于其研究由定性分析向定量分析的转变。数理金融学即可认为是现代金融学定量分析分支中最具代表性的一门学科。定量分析必然离不开相应计算软件的应用，Matlab就是一款最为流行的数值计算软件，它将高性能的数值计算和数据图形可视化集成在一起，并提供了大量内置函数，近年来得到了广泛的应用，也为金融定量分析提供了强有力的数学工具。  　　一、Black-Scholes-Merton期权定价模型  　　本节先给出B-S-M期权定价模型的简单推导，下节给出B-S-M期权定价模型的Matlab的实现。设股票在时刻t的价格过程S（t）遵循如下的几何Brown运动：  　　dS（t）=mS（t）dt+sS（t）dW（t）　（1）  　　无风险资产价格R（t）服从如下方程：  　　dR（t）=rR（t）dt　（2）  　　其中，r，m，s＞0为常量，m为股票的期望回报率，s为股票价格波动率，r为无风险资产收益率且有0＜r＜m；dW（t）是标准Brown运动。由式（1）可得：  　　lnS（T）：F［lnS（t）+（m-s2/2）（T-t），s■］　（3）  　　欧式看涨期权是一种合约，它给予合约持有者以预定的价格（敲定价格）在未来某个确定的时间T（到期日）购买一种资产（标的资产）的权力。在风险中性世界里，标的资产为由式（1）所刻画股票，不付红利的欧式看涨期权到期日的期望价值为：■［max（S（T）－X，0）］，其中■表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，不付红利欧式看涨期权价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：  　　c=e-r（T－1）■［max｛S（T）－X，0｝］　（4）  　　在风险中性世界里，任何资产将只能获得无风险收益率。因此，lnS（T）的分布只要将m换成r即可：  　　lnS（T）：F［lnS（t）+（r-s2/2）（T-t），s■］　（5）  　　由式（3）-（4）可得欧式看涨期权价格：  　　c=S（t）N（d1）-Xe-r（T－1）N（d2）　（6）  　　这里：  　　d1=■　（7）  　　d2=■=d1-s■　（8）  　　N（x）为均值为0标准差为1的标准正态分布变量的累积概率分布函数。S（t）为t时刻股票的价格，X为敲定价格，r为无风险利率，T为到期时间。欧式看跌期权也是一种合约，它给予期权持有者以敲定价格X，在到期日卖出标的股票的权力。  　　下面推导欧式看涨期权c与欧式看跌期权p的联系。考虑两个组合，组合1包括一个看涨期权加上Xe-r（T－1）资金，组合2包含一个看跌期权加上一股股票。于是，在到期时两个组合的价值必然都是：  　　max｛X，S（T）｝　（9）  　　欧式期权在到期日之前是不允许提前执行的，所以当前两个组合的价值也必相等，于是可得欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（put-call parity）：  　　c+Xe-r（T－t）=p+S（t）　（10）  　　由式（10）可得，不付红利欧式看跌期权的价格为：  　　p=Xe-r（T－t）N（－d2）－S（t）N（-d1）　（11）  　　二、Black-Scholes-Merton模型的Matlab实现  　　1、欧式期权价格的计算。由式（6）可知，若各参数具体数值都已知，计算不付红利的欧式看涨期权的价格一般可以分为三个步骤：先算出d1，d2，涉及对数函数；其次计算N（d1），N（d2），需要查正态分布表；最后再代入式（6）及式（11）即可得欧式期权价格，涉及指数函数。不过，欧式期权价格的计算可利用Matlab中专有blsprice函数实现，显然更为简单：  　[call，put]=blsprice（Price，Strike，Rate，Time，Volatility）　（12）  　　只需要将各参数值直接输入即可，下面给出一个算例：设股票t时刻的价格S（t）＝20元，敲定价格X＝25，无风险利率r=3%，股票的波动率s=10%，到期期限为T－t=1年，则不付红利的欧式看涨及看跌期权价格计算的Matlab实现过程为：  　　输入命令为：[call，put]= blsprice（20，25，0.03，0.1，1）  　　输出结果为：call=1.0083　put=5.9334 　　即购买一份标的股票价格过程满足式（1）的不付红利的欧式看涨和看跌期权价格分别为1.0083元和5.9334元。  　　2、欧式期权价格的比较静态分析。也许纯粹计算欧式期权价格还可以不利用Matlab软件，不过在授课中，教师要讲解期权价格随个参数的变化规律，只看定价公式无法给学生一个直观的感受，此时可利用Matlab数值计算功能及作图功能就能很方便地展示出期权价格的变动规律。下面笔者基于Matlab展示欧式看涨期权价格随各参数变动规律：  　　（1）看涨期权价格股票价格变化规律  　　输入命令：s=（10∶1∶40）；x=25；r=0.03；t=1；v=0.1；  　　c=blsprice（s，x，r，t，v）；  　　plot（s，c，'r-.'）  　　title（'图1看涨期权价格股票价格变化规律'）；  　　xlabel（'股票价格'）；ylabel（'期权价值'）；grid on 　　（2）看涨期权价格随时间变化规律  　　输入命令：s=20；x=25；r=0.03；t=（0.1∶0.1∶2）；v=0.1；c=blsprice（s，x，r，t，v）；  　　plot（t，c，'r-.'）  　　title（'图2看涨期权价格随时间变化规律'）；  　　xlabel（'到期时间'）；ylabel（'期权价值'）；grid on 　　（3）看涨期权价格随无风险利率变化规律  　　s=20；x=25；r=（0.01∶0.01∶0.5）；t=1；v=0.1；c=blsprice（s，x，r，t，v）；  　　plot（r，c，'r-.'）  　　title（'图3看涨期权价格随无风险利率变化规律'）；  　　xlabel（'无风险利率'）；ylabel（'期权价值'）；grid on 　　（4）看涨期权价格随波动率变化规律  　　s=20；x=25；r=0.03；t=1；v=（0.1∶0.1∶1）；c=blsprice（s，x，r，t，v）；  　　plot（v，c，'r-.'）  　　title（'图4看涨期权价格随波动率变化规律'）；  　　xlabel（'波动率'）；ylabel（'期权价值'）；grid on （作者单位：南京审计学院数学与统计学院）   主要参考文献： [1]罗琰，杨招军，张维.非完备市场欧式期权无差别定价研究[J].湖南大学学报（自科版），2011.9.  [2]罗琰，覃展辉.随机收益流的效用无差别定价[J].重庆工商大学学报（自科版），2011.  [3]邓留宝，李柏年，杨桂元.Matlab与金融模型分析[M].合肥工业大学出版社，2007.

6. bs期权定价模型，是否考虑了期权的时间价值。另外跪求bs模型公式讲解推导过程，要地球人都能看得懂的那种。

black-scholes考虑了期权的时间价值。
1.bs公式的原推导过程应用了偏微分方程和随机过程中的几何布朗运动性质（描述标的资产）和Ito公式，你要没学过随机和偏微估计只有火星人才能给你讲懂。
2.你要是只是要得到那个形式，看一下二叉树模型，二叉树模型简单易懂，自己就可以推导，且二叉树模型取极限（时间划分无限细）即为bs公式.
3.你要是真心要理解bs模型公式，我可以推荐一本书，姜礼尚的《期权定价的数学模型和方法》，老老实实从第一章看到第五章，只挑欧式期权看就够了。
～～～突然想当年老娘为了看懂b-s-m模型把图书馆的书都借了一圈～感慨啊，当然HULL的那本option,future,and other derivatives 是经典中的经典，不过太厚了～～

7. 期权定价模型的二项式模型

二项式模型的假设主要有：1、不支付股票红利。2、交易成本与税收为零。3、投资者可以以无风险利率拆入或拆出资金。4、市场无风险利率为常数。5、股票的波动率为常数。假设在任何一个给定时间，金融资产的价格以事先规定的比例上升或下降。如果资产价格在时间t的价格为S，它可能在时间t+△t上升至uS或下降至dS。假定对应资产价格上升至uS，期权价格也上升至Cu，如果对应资产价格下降至dS，期权价格也降至Cd。当金融资产只可能达到这两种价格时，这一顺序称为二项程序。

8. 期权BS定价

A A C 记下来就好