什么是裴波那契数列

1. 什么是裴波那契数列

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式见图

2. 裴波那契数列是怎样的数列？

斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，应该把它看做巧合还是规律呢？ 　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）因为：经计算可得：an^2-aa=(-1)^(n-1) *）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用

3. 裴波那契数列是怎样的数列？

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
　　斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 
　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）
　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【奇妙的属性】
　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 
　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）
　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：
　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1
　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1
　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列
　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
　　1
　　1 1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　……
　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
　　斐波那契数与植物花瓣
　　3………………………百合和蝴蝶花
　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
　　8………………………翠雀花
　　13………………………金盏草
　　21………………………紫宛
　　34、55、89……………雏菊
　　斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
【相关的数学问题】
　　1.排列组合
　　有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 
　　这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
　　1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
　　2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
　　当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？
　　这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。
　　3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式
　　由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
【斐波那契数列别名】
　　斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 
　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 
　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
　　－－－－－－ 
　　依次类推可以列出下表： 
　　经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12
　　兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144
　　表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 
　　这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
　　这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2）n-（1-√5/2） n]（n=1,2,3.....）

4. 什么是裴波拉契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
自然中的斐波那契数列
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。

5. 裴波那契数列的计算公式？

方法一：利用特征方程（线性代数解法） 　　线性递推数列的特征方程为： 　　X^2=X+1 　　解得 　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 　　∵F(1)=F(2)=1。 　　∴C1*X1 + C2*X2。 　　C1*X1^2 + C2*X2^2。 　　解得C1=√5/5，C2=-√5/5。 　　∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。 　
　方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 　　设常数r，s。 　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　则r+s=1， -rs=1。 　　n≥3时，有。 　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 　　…… 　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。 　　联立以上n-2个式子，得： 　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。 　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。 　　上式可化简得： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 　　那么： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 　　…… 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 　　（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。 　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。 　　=(s^n - r^n)/(s-r）。 　　r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 　　则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 
　　方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。 　　解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 　　得α+β=1。 　　αβ=-1。 　　构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 　　所以。 　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 　　由式1，式2，可得。 　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

6. 裴波那契数列的规律是什么？

解答

从第三项起，前两项的和为后面的一项，即：a(n+2)=a(n+1)+an

7. 裴波那契数列第 n个数怎么表示

8. 裴波拉契数列的公式

F(n)= (1/√5){[(1+√5)/2]^(n+2)-[(1-√5)/2]^(n+2)} 
  下面用特征值法求F(n)——裴波那契数列 1 1 2 3 5 ... 的通项 
  F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0 
  令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n)) 
  展开F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0 
  显然 a+b = 1 ab = -1 
  由韦达定理知 a、b为二次方程 x2 - x - 1 = 0 的两个根 
  解得 a = (1 + √5)/2，b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2，b = (1 + √5)/2 
  令G(n) = F(n+1) - aF(n)，则G(n+1) = bG(n)，且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b，因此G(n)为等比数列，G(n) = (1-a)bn-1 = bn ，即 
  F(n+1) - aF(n) = G(n) = bn ------ (1) 
  在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入，由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2，y = (1 -√5)/2，得到： 
  F(n+1) - xF(n) = yn 
  F(n+1) - yF(n) = xn 
  以上两式相减得： 
  (x-y)F(n) = xn - yn 
  F(n) = (xn - yn)/(x-y) = {[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2] n}/√5