高等数学及其应用第二版上册1-5（3）解析

1. 高等数学及其应用第二版上册1-5（3）解析

（1）
tanx~x
原式 = 3x/2x = 3/2

（2）
ln(1+x) ~ x
原式 = x^n/x^m
=
0    当 n > m
1    当 n = m
∞     当 n < m

2. 高等数学（上册）答案解析

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3. 高数十二五第二版上册答案 习题1-3第四题

习题1-3
    1.根据函数极限的定义证明:
    (1);
    分析因为
         |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|,
所以要使|(3x-1)-8|<e,只须.
    证明因为"e>0,$,当0<|x-3|<d时,有
         |(3x-1)-8|<e,
所以.
    (2);  
    分析因为
         |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|,
所以要使|(5x+2)-12|<e,只须.  
    证明因为"e>0,$,当0<|x-2|<d时,有
         |(5x+2)-12|<e,
所以.
    (3);  
    分析因为
         ,
所以要使,只须.
    证明因为"e>0,$,当0<|x-(-2)|<d时,有
         ,
所以.
 
    (4). 
    分析因为
         ,
所以要使,只须.
    证明因为"e>0,$,当时,有
         ,
所以.
    2.根据函数极限的定义证明:
    (1); 
    分析因为
         ,
所以要使,只须,即. 
    证明因为"e>0,$,当|x|>X时,有
         ,
所以.
    (2).
    分析因为
         .
所以要使,只须,即. 
    证明因为"e>0,$,当x>X时,有
         ,
所以.
    3.当x®2时,  y=x2®4.问d等于多少,使当|x-2|<d时, |y-4|<0.001？
    解由于当x®2时, |x-2|®0,故可设|x-2|<1,即1<x<3.
    要使
        |x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001,
只要.
    取d=0.0002,则当0<|x-2|<d时,就有|x2-4|<0. 001. 
    4.当x®¥时, ,问X等于多少,使当|x|>X时, |y-1|<0.01?
    解要使,只要,故.
    5.证明函数f(x)=|x|当x®0时极限为零.
    证明因为
         |f(x)-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|,
所以要使|f(x)-0|<e,只须|x|<e.
    因为对"e>0,$d=e,使当0<|x-0|<d,时有
         |f(x)-0|=||x|-0|<e,
所以.
    6.求 当x®0时的左﹑右极限,并说明它们在x®0时的极限是否存在.
    证明因为
        ,
        ,
        ,
所以极限存在.
    因为
        ,
        ,
        ,
所以极限不存在.
    7.证明:若x®+¥及x®-¥时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则.
    证明因为, ,所以"e>0,
        $X1>0,使当x<-X1时,有|f(x)-A|<e; 
        $X2>0,使当x>X2时,有|f(x)-A|<e.
取X=max{X1, X2},则当|x|>X时,有|f(x)-A|<e,即.
    8.根据极限的定义证明:函数f(x)当x®x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
    证明先证明必要性.设f(x)®A(x®x0),则"e>0,$d>0,使当0<|x-x0|<d时,有
|f(x)-A|<e.
因此当x0-d<x<x0和x0<x<x0+d时都有
|f(x)-A|<e.
这说明f(x)当x®x0时左右极限都存在并且都等于A.
    再证明充分性.设f(x0-0)=f(x0+0)=A,则"e>0,
        $d1>0,使当x0-d1<x<x0时,有| f(x)-A<e;
        $d2>0,使当x0<x<x0+d2时,有| f(x)-A|<e.
取d=min{d1,d2},则当0<|x-x0|<d时,有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2,从而有
| f(x)-A|<e,
即f(x)®A(x®x0).
    9.试给出x®¥时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.
    解 x®¥时函数极限的局部有界性的定理:如果f(x)当x®¥时的极限存在,则存在X>0及M>0,使当|x|>X时, |f(x)|<M.
    证明设f(x)®A(x®¥),则对于e=1,$X>0,当|x|>X时,有|f(x)-A|<e=1.所以
    |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|.
这就是说存在X>0及M>0,使当|x|>X时, |f(x)|<M,其中M=1+|A|.

4. 高等数学第六版课后习题 1-2 第五题

数列xn有界  所以存在M>0,使得xn的绝对值《=M
 
因为yn的极限值是0，所以存在N。>0，当n>N。时，yn的绝对值<ε
由上述知存在N=N。，当n>N,
xnyn的绝对值<=Myn的绝对值<Mε
所以xnyn的极限值是0