什么是方差.协方差

1. 什么是方差.协方差

协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。 回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个（或几个）因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度，称为X的方差。
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2. 协方差的性质是什么?

定义1：变量xk和xl如果均取n个样本，则它们的协方差定义为 ，这里 分别表示两变量系列的平均值。协方差可记为两个变量距平向量的内积，它反映两气象要素异常关系的平均状况。定义2：度量两个随机变量协同变化程度的方差。
协方差 
协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
性质
若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。 
协方差与方差之间有如下关系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)
协方差与期望值有如下关系：
Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

协方差的性质：
（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)
（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）
（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)

3. 什么叫协方差

协方差科技名词定义
中文名称：协方差 英文名称：covariance 定义1：变量xk和xl如果均取n个样本，则它们的协方差定义为 ，这里 分别表示两变量系列的平均值。协方差可记为两个变量距平向量的内积，它反映两气象要素异常关系的平均状况。 所属学科：大气科学（一级学科）；气候学（二级学科） 定义2：度量两个随机变量协同变化程度的方差。 所属学科：遗传学（一级学科）；群体、数量遗传学（二级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 
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协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。 回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。

目录

基本定义
协方差的性质
协方差在农业上的应用
 编辑本段基本定义
  方差反应参数的波动情况。而两个不同参数之间的方差就是协方差。   若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。   定义   E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。   协方差与方差之间有如下关系：   D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)   D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)   因此，COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
编辑本段协方差的性质
  （1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；   （2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）；   （3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。   由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。   协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念：   定义   ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。   定义   若ρXY=0，则称X与Y不相关。   即ρXY=0的充分必要条件是COV(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。   定理   设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有   （1）∣ρXY∣≤1；   （2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）   定义   设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。   若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。   若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。   若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。   显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差COV(X，Y)是X和Y的二阶混合中心矩。
编辑本段协方差在农业上的应用
  农业科学实验中，经常会出现可以控制的质量因子和不可以控制的数量因子同时影响实验结果的情况，这时就需要采用协方差分析的统计处理方法，将质量因子与数量因子(也称协变量)综合起来加以考虑。   比如，要研究3种肥料对苹果产量的实际效应，而各棵苹果树头年的“基础产量”不一致，但对试验结果又有一定的影响。要消除这一因素带来的影响，就需将各棵苹果树第1年年产量这一因素作为协变量进行协方差分析，才能得到正确的实验结果。   当两个变量相关时，用于评估它们因相关而产生的对应变量的影响。   当多个变量独立时，用方差来评估这种影响的差异   当多个变量相关时，用协方差来评估这种影响的差异   简单来说，可以把协方差当成方差来理解。

4. 协方差的含义

5. 协方差是什么

　定义
　　E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
　　协方差与方差之间有如下关系：
　　D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)
　　D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)
　　因此，COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
　　协方差的性质：
　　（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；
　　（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）；
　　（3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。
　　由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。

6. 什么是协方差

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协方差
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协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个（或几个）因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。两个不同参数之间的方差就是协方差。若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。
基本信息
中文名：协方差
英文名：covariance
所属学科：数学
属性：统计分析方法
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协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。 回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个（或几个）因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。
属性
两个不同参数之间的方差就是协方差 若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。
定义
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
协方差与方差之间有如下关系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)
协方差与期望值有如下关系：
Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
协方差的性质：
（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；
（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；
（3）Cov(X+X，Y)=Cov(X，Y)+Cov(X，Y)。
由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。
协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念：
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定义
称为随机变量X和Y的(Pearson)相关系数。
定义
若ρXY=0，则称X与Y不线性相关。
即ρXY=0的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。
定理
设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有
（1）∣ρ∣≤1；
（2）∣ρ∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）
定义
设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。
若E{[X-E(X)]}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。
若E{(X^k）（Y^p)}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+p阶混合原点矩。
若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l }，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。
显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差Cov(X，Y)是X和Y的二阶混合中心矩。

7. 什么是协方差，有什么用？

协方差计算式为COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。这里的E[X]代表变量X的期。
协方差用于表示变量间的相互关系，变量间的相互关系一般有三种：正相关，负相关和不相关。
正相关：假设有两个变量x和y，若x越大y越大；x越小y越小则x和y为正相关。
负相关：假设有两个变量x和y，若x越大y越小；x越小y越大则x和y为负相关。
不相关：假设有两个变量x和y，若x和y变化无关联则x和y为负相关。

协方差在农业上的应用：
农业科学实验中，经常会出现可以控制的质量因子和不可以控制的数量因子同时影响实验结果的情况，这时就需要采用协方差分析的统计处理方法，将质量因子与数量因子（也称协变量）综合起来加以考虑。
比如，要研究3种肥料对苹果产量的实际效应，而各棵苹果树头年的“基础产量”不一致，但对试验结果又有一定的影响。要消除这一因素带来的影响，就需将各棵苹果树第1年年产量这一因素作为协变量进行协方差分析，才能得到正确的实验结果。
以上内容参考：百度百科-协方差

8. 方差和协方差有什么关系吗？

方差和期望的关系公式：DX=EX^2-(EX)^2。若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。
将第一个公式中括号内的完全平方打开得到：DX=E(X^2-2XEX+(EX)^2)=E(X^2)-E(2XEX)+(EX)^2=E(X^2)-2(EX)^2+(EX)^2=E(X^2)-(EX)^2，离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。

方差计算注意事项
协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。（结合下面的2理解，每个样本有很多特征，每个特征就是一个维度）。
根据公式，计算协方差需要计算均值，那是按行计算均值还是按列，协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。