在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1垂直于BC1，AB=CC1，求证AC1垂直于AB

1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1垂直于BC1，AB=CC1，求证AC1垂直于AB

我证明不垂直。
连结B1C，AB1⊥BC1，B1C⊥BC1，
AB1∩B1C=B1，BC1⊥平面ACB1，
AC∈平面ACB1，
BC1⊥AC，AC⊥CC1，
CC1∩BC=C，
AC⊥平面BCC1B1，
BC∈平面BCC1B1，
故AC⊥BC，
三角形ACB是直角三角形，
设AB=CC1=c,
BC=a,AC=b,
c^2=a^2+b^2,
BC1^2=c^2+a^2,
AC1^2=b^2+c^2,
AC1^2+AB^2=b^2+c^2+c^2=2a^2+3b^2,
BC1^2=c^2+a^2=2a^2+b^2
AC1^2+AB^2≠BC1^2,三角形ABC1不是直角三角形，故AC1不垂直AB。

2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1垂直于AB1，BC1垂直于A1C，求证：AB1=A1C

向量BC1=向量BB1+向量B1C1，向量AB1=向量AA1+向量A1B1，向量A1C=向量A1A+向量AC
向量BC1·向量AB1=(向量BB1+向量B1C1)·(向量AA1+向量A1B1)=0  
=>  向量B1C1·向量A1B1+BB1^2=0

同理  =>  向量B1C1·向量AC-BB1^2=0
2式相加  =>  向量B1C1·向量A1B1+向量B1C1·向量AC=0
即  向量BC·(向量AB+向量AC)=0  =>  AB=AC
又 直三棱柱三条棱相等，且垂直底边三角形，所以AB1=A1C

3. 直3棱柱ABC-A1B1C1中,BC1垂直于AB1,BC1垂直于A1C,求证AB1=A1C

将直3棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱
ABDC-A1B1D1C1,底面是以AB，AC为邻边的平行四边形
连接B1D
B1D//A1C
BC1垂直于A1C
BC1垂直于B1D
BC1垂直于AB1
所以  B1C⊥平面AB1D
所以
B1C⊥AD
BB1⊥AD
AD⊥平面BB1C
所以AD⊥BC
所以底面ABDC为菱形
AB=AC
AB1^2=BB1^2+AB^2
A1C^2=AA1^2+AC^2
所以 AB1=A1C

4. 直三棱柱ABC——A1B1C! 中，BC1垂直A1C，BC1垂直与AB1，求证AB1=A1C

在AA1B1B面上的A1点做A1F平行AB1,BC1垂直与AB1,也就垂直A1F
同时BC1垂直A1C,所以BC1垂直面FA1C,
所以有FC垂直BC1,
在直三棱柱ABC——A1B1C1中,BB1垂直面A1B1C1也就垂直FC
所以FC垂直面BCC1B1也就是FC垂直BC
注意到FCB是等腰直角三角形
由勾股定理不能看出
AB1=A1C
给分啦谢谢

5. 直3棱柱ABC-A1B1C1中,BC1垂直于AB1,BC1垂直于A1C,求证AB1=A1C

写着很麻烦~!
作A1,A在平面BCC1B1的射影,设为G1,G(显然是在B1C1,BC上) 
GG1平行CC1(省了几步)
因为BC1垂直于AB1,BC1垂直于A1C
所以G1C垂直与BC1垂直,B1G和BC1垂直(射影定理)
在矩形BCC1B1内
因为G1C垂直与BC1垂直,B1G和BC1垂直,所以G1C平行B1G
而且B1G1和BG平行
所以四边形B1G1CG是平行四边形
所以B1G1=GC,因为G1G平CC1所以G1GCC1是平行四边形,所以G1C1=CG
所以B1G1=G1C1
因为A1G1垂直与B1C1
所以A1B1=A1C1
所以A1B1=AC
因为A11=A1A，A1A垂直与AB，A1A垂直与AC
所以三角形A1AC和三角形A1AB1全等
所以B1A=A1C


再加点分上去吧……打完累死我了……但既然做了，就一定要做得好~！！

不过以后再也不来解立体几何了……

6. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC垂直BC,点D是AB中点，求证，CD垂直平面A1ABB1

1.∵AC=BC  D是AB中点
∴CD⊥AB
又直棱锥的侧棱垂直底面
∴BB'⊥CD
∴CD⊥面A'ABB'
2.连BC'交B'C于E，连DE
则E为BC'中点
∴DE为△ABC'的中位线
DE∥AC'
又DE∈面CDB'
∴AC'∥面CDB'
3. 当M与B重合时
Rt△A'B'B∽Rt△B'BD
∴A'M⊥B'D
又CD⊥A'M
∴A'M⊥面CDB'

7. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90,AB=BC=1

解：(1) ∵BC‖B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)

     ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,

     ∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.

     (2) ∵AA1⊥平面ABC,

      ∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

          ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,根号2

           ∴AA1=.根号2

          ∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.根号六分之2

8. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1垂直于BC1，AB=CC1=1，BC=2

连接A1B,
因为AB=CC1，三棱柱为直三棱柱，所以AA1垂直于A1C1（直棱柱侧棱垂直于底面）
且ABB1A1为正方形，则A1B垂直于AB1（正方形对角线），
又因为AB1垂直于BC1，A1B垂直于AB1，A1B交BC1于B点，所以AB1垂直于平面A1BC1（第一次线面垂直），则AB1垂直于A1C1，
由AB1垂直于A1C1（第一次线面垂直的结论），AA1垂直于A1C1，AB1交AA1于A点，得A1C1垂直于平面ABB1A1（第二次线面垂直），
所以AC1垂直于AB